DIFFÉRENTIELS

Les boîtes d'engrenages telles que nous les rencontrons le plus souvent sont
des boîtes avec deux entrées/sorties, c'est-à-dire que dans ces boîtes, la puissance
circule selon un cheminement unique dans le train d'engrenages, de l'entrée vers la
sortie. La figure 17.1 illustre ce cheminement simple dans une boîte d'engrenages à
deux entrées/sorties. La boîte d'engrenages de la figure 17.1 contient une combinaison
d'engrenages coniques et cylindriques. La même remarque est vraie pour les boîtes
montrées aux figures 17.4 et 17.6 au chapitre 17 qui, elles, contiennent seulement des
engrenages cylindriques ou de vis.
Une caractéristique des boîtes d'engrenages à deux entrées/sorties est qu'elles
ont un ratio
valeurs de
deviennent vite lourdes et encombrantes.
L'arrangement d'engrenages en un train planétaire dans un plan, figure 17.2, ou
dans l'espace permet de réaliser une boîte d'engrenages à trois entrées/sorties, que
l'on appelle différentiels. De tels arrangements permettent d'obtenir des ratios
i fixe ou des ratios multiples mais à des valeurs définies. Pour les grandesi, les boîtes d'engrenages conventionnelles à deux entrées/sortiesi
infinitésiment variables dans une certaine plage ou des ratios très grands dans un
espace et avec un poids minimum.
Ce chapitre étudie la cinématique des différentiels, le cheminement de la
puissance dans ces trains d'engrenages et comment ils peuvent être utilisés pour varier
la vitesse ou pour obtenir de grands ratios de démultiplication.
DESCRIPTION DES DIFFÉRENTIELS
La figure 17.2 illustre un train d'engrenages planétaire réalisé avec des
engrenages cylindriques. L'anneau, qui est un engrenage interne, et la planète
centrale, que l'on appellera planète, ont leurs axes coaxiaux. Les satellites qui sont en
contact simultanément avec l'anneau et la planète ont leurs axes montés sur un porte
satellite, que l'on appelle châssis, qui est libre de tourner autour du même axe que
l'anneau et la planète.
En général, dans un train planétaire, il n'y a pas moins que trois satellites, mais il
peut y en avoir plus. L'arbre du châssis est creux et contient un palier pour recevoir
l'arbre de la planète. Souvent, l'arbre de la planète se prolonge à l'arrière pour être
supporté par un autre palier dans le corps de l'anneau, figure 17.2(b).
L'engrenage interne de l'anneau est en porte-à-faux à l'extérieur de ses paliers.
Comme les satellites ne transmettent aucun couple, leur axe est soudé au châssis et ils
sont libres de tourner de leur axe respectif grâce à un palier.
L'arbre de l'anneau, celui de la planète et celui du châssis sont les trois
entrées/sorties du train différentiel. Si on immobilise un de ces trois axes, on retrouve
un train d'engrenages planétaire conventionnel à deux entrées/sorties.
La figure 17.2(c) illustre comment il est convenu, dans ce qui suit, de représenter
les composantes d'un différentiel.
Pour alléger la présentation, on ne dessine, quand cela est possible, qu'une
moitié du train, figure 17.2(b). Pour plus de facilité, on représente les engrenages par
un trait terminé par une barre perpendiculaire pour les dents. Le point d'engrènement
des dents est représenté par deux traits parallèles placés face à face, figure 17.2(c).
Pour clarifier la présentation, on montre parfois les paliers par deux traits parallèles de
chaque côté de l'arbre. Lorsque l'engrenage tourne avec l'arbre, on le montre comme
soudé sur son arbre. Les axes de l'anneau et de la planète sont concentriques alors
que seulement une moitié de l'arbre creux du châssis n'est montrée.
Les symboles
nombre de dents,
N·m; l'indice
satellites et l'indice
agissent dans le sens antihoraire (A.H.) lorsqu'on regarde le train de la droite et négatifs
s'ils sont dans le sens horaire (H.).
Il faut rappeler que sur un arbre qui est une entrée,
sens, c'est-à-dire qu'ils sont tous les deux positifs ou négatifs. Sur un arbre qui est une
sortie,
d'engrenages à trois entrées/sorties, il n'est pas facile d'assigner un indice prédéfini aux
variables. Nous allons utiliser les indices 1, 2 et 3 pour les terminaux en essayant,
autant que possible, d'assigner l'indice 1 à une entrée; les indices 2 et 3 pourront être
une entrée ou une sortie.

ÉQUATIONS DE CALCUL
Les différentiels constituent un système à neuf variables inconnues de vitesse,
de couple et de puissance, dont six sont indépendantes. Pour solutionner ce système,
nous disposons de trois équations, soit les équations de cinématique, l'équation de
couple et l'équation de la puissance. Pour définir le système mathématiquement, il
faudra donc définir trois variables au départ.
Équations de cinématique
Un différentiel s'étudie, du point de vue cinématique, exactement comme un train
planétaire. Donc, si nous appliquons l'équation de Willis [17.1] au train de la figure
17.2, nous pouvons écrire :
où l'anneau
En régime permanent et en négligeant les pertes par frottement, le diagramme
du corps libre des constituantes du train, en supposant que la planète est une entrée et
que le couple sur la planète est positif, est comme montré à la figure 17.3; pour
conserver l'équilibre statique, il faut que
est supposée une entrée, il faut que
que
Avec la planète
peuvent alors se présenter :
1- L'anneau et le châssis sont des sorties. Dans ce cas,
être dans le sens contraire à
représenté à la figure 17.3.
2- L'anneau est une sortie et le châssis est une entrée. Pour que le châssis
soit une entrée, il faut que
que
3- L'anneau est une entrée et le châssis est une sortie. Dans ce cas,
être positif pour être dans le même sens que
est montré à la figure 17.5.
On peut reprendre le même exercice en supposant successivement l'anneau et
le châssis comme étant une entrée. Nous allons obtenir ainsi les six cas différents
montrés au tableau 17.1 et aux figures 17.3 à 17.8
Exemple 17.1
Soit un différentiel à une entrée deux sorties du type de celui de la figure 17.6 :
l'entrée est sur l'anneau et les sorties sont la planète et le châssis. Selon le
tableau 17.1, si
Pour
Na est positif, il faut que Nc soit aussi positif et Np soit négatif.Za = 90 dents, Zp = 50 dents et Na = 100 tpm, à partir de quelle valeur de Nc
ce différentiel cesse-t-il d'appartenir au cas 2 du tableau 17.1 lorsque
constant et que Na resteNc reste positif?Solution
On peut réarranger l'équation (17.2) pour obtenir :
Pour les conditions posées, ce différentiel cesse d'appartenir au cas 2 du tableau
17.1 lorsque
Chap. 17 - Différentiels Partie D
Équations de la puissance
Si on néglige les pertes par frottement dans les engrènements, on peut écrire :
T_p~N_p~+~T_c~N_c~+~T_a~N_a~=~0
On définit la puissance à une entrée comme étant positive; il faut alors que la
puissance sur une sortie ait un signe négatif pour satisfaire la relation (17.3).
Équations de couple
Des figures 17.3 à 17.8, on déduit :
T_p~+~T_c~+~T_a~=~0
Il faut noter que dans un train d'engrenages différentiel,
même sens et opposés à
train.
Exemple
Soit un train planétaire dans lequel
Zp = Zs = 40 dents. Le châssis c est entraîné à
N
machine qui consomme 90 kW alors que l'anneau
demande 10 kW de puissance.
a) Quel est le nombre de dents dans l'anneau
b) Calculez
c) Quelles sont les vitesses de la planète et de l'anneau avec leur sens?
Solution
Chap. 17 - Différentiels Partie D
Clairement, de la figure 17.2, on voit qu'il faut que :
R_a~=~R_p~+~2R_s
où
Puisque l'anneau, les satellites et la planète sont en contact, ils doivent avoir le
même module et le même angle de pression. De la relation
après simplifications :
Z_a~=~Z_p~+~2Z_s~=~40~+~2~x~40~=~120~dents
b) Le couple d'entrée sur le châssis vaut :
_c~=~{100~x~9550} over {900}~=~+~1,061~x~10^3~N·m
Ra, Rp et Rs sont les rayons primitifs de l'anneau de la planète et des satellites.m = 2R/Z, on obtient,c = 900 tpm par un moteur de 100 kW. L'arbre de la planète p entraîne unea est relié à un mécanisme quia?Wt si les engrenages ont un module de 2,5 mm.Tp et Ta sont dans leTc; ceci est nécessaire pour respecter l'équilibre statique duNp ∃ 0, c'est-à-dire lorsque :a, la planète p et le châssis c peuvent être une entrée ou une sortie.Tc soit négatif et Ta positif. Puisque la planèteNp soit aussi positif pour être dans le même sensTp.p comme entrée, en supposant Tp et Np positifs, trois casNc doit être positif pourTc et Na doit être négatif. C'est le casNc soit négatif pour être aussi dans le même sensTc. Na doit aussi être négatif; ce cas est montré à la figure 17.4.Na doitTa et Nc doit être positif. CeciΤ et N sont une vitesse angulaire en rad/s et en tpm, Z est unT est un couple extérieur appliqué sur une entrée ou une sortie ena est pour l'anneau, l'indice p est pour la planète, l’indice S est pour lesc est pour le châssis. Par convention, T, Τ et N sont positifs s'ilsT et N sont dans le mêmeT et N sont de signe contraire. Parce que nous sommes en présence d'un train