H L Mécanique: mai 2012

BOÎTES D’ENGRENAGES

*1 Introduction

ARRANGEMENT DES ARBRES

ARRANGEMENT DES ARBRES

TRANSMISSION EFFICACE
Réducteurs avec engrenages

cylindriques* 2 Choix d’une unité de réduction
η ≈ 99,5 % /engrènement

TRANSMISSION EFFICACE

INERTIE ET INVERSION DE COUPLE

CAPACITÉ D’ÉVACUATION DE CHALEUR
(CAPACITÉ THERMIQUE)

La capacité mécanique Pm d ’une boîte vient du produit T1⋅ω1
la capacité thermique Pθ est définie de la façon suivante :
« la puissance continue à l’arbre d’entrée qui cause
une élévation de température de l’huile de 40 0 C au
dessus de l’ambiant »
La capacité thermique d’une boîte sert à calculer la
température maximale probable de l’huile θH à l’aide de la
relation :
où θa est la température ambiante, P1 est la puissance à
l’entrée et Pθ est la capacité thermique de la boîte. Si Pθ n ’est
pas donné, on le pose égal à Pm.

CHAMP TOURNANT AU SEIN DU MOTEUR MONOPHASÉ

2.1 Champ tournant

pulsatoire oscille alternativement3Champ magnétique produit par une bobine

Si maintenant une deuxième bobine est placée perpendiculairement et que nous la

décalons de 90° dans l’espace par rapport à la première, la somme vectorielle des deux

champs magnétiques produits par ces bobines donne naissance à un champ résultant dont

l’orientation dépend du déphasage

Trois cas doivent être étudiés : un déphasage nul des courants, un déphasage de 90° et un

déphasage quelconque.

4Champ magnétique produit par deux bobines, déphasage nul

Le champ résultant

d’un déphasage nul

B(t) est la somme vectorielle des champs B1(t) et B2(t). Dans le casB1(t) = B2(t). Le champ est orienté selon un axe de 45°. Il estpulsatoire
Champ magnétique produit par deux bobines, déphasage de 90°

5Champ magnétique produit par deux bobines, déphasage de 90°
Dans le cas d’un déphasage de 90°, nous avons :

On peut donc écrire que :

ANNEXE - NOTIONS DE BASE D’ÉLECTROMÉCANIQUE

1. LOIS DE L’ÉLECTROMAGNÉTISME

Le fonctionnement des moteurs est fondé sur deux grands principes de l’électromagnétisme
: la loi d’induction de Faraday et la loi de Lorentz. Le premier principe
explique le phénomène d’
conducteur en mouvement relatif par rapport au champ magnétique. Le second porte sur
l’apparition des forces qui s’exercent sur un conducteur parcouru par un courant
électrique et situé dans un champ magnétique. Les moteurs électriques résultent de la
mise en oeuvre de ces deux principes.
induction selon lequel un courant électrique est induit dans un
a) Loi d’induction de Faraday
La
magnétique fait apparaître une différence de potentiel à ses extrémités. On dit alors
qu’une tension est induite dans le conducteur.

1 - Différence de potentiel induite dans un conducteur en mouvement dans un
champ magnétique

La valeur de la tension induite dans le conducteur dépend uniquement de l’aire et de
l’intensité du flux magnétique coupée par seconde. Par définition, lorsque le flux est
coupé à un taux de 1 Wb par seconde (le Wb ou
magnétique), une tension de 1
remarquable, la valeur de cette tension ne dépend ni de la forme du conducteur, ni de
celle du champ magnétique.
Noter que c’est la vitesse du mouvement relatif du champ magnétique par rapport au
conducteur qui crée la tension induite : par exemple, un conducteur stationnaire peut être
coupé par un champ qui se déplace ou vice-versa. En somme, la valeur de la tension
induite dépend seulement du flux coupé par seconde, quelque soit le moyen utilisé. Ceci
s’exprime par la formule suivante :weber est l’unité de mesure du fluxvolt est induite entre les extrémités du conducteur. Chose

où
un intervalle de temps
Lorsqu’un conducteur coupe les lignes de flux à angle droit, on constate que la valeur de
la tension induite est proportionnelle aux paramètres suivants :
- la longueur du conducteur,
- la densité de flux,
- la vitesse de déplacement.
Ceci s’exprime par la formule suivante :
E
où
interceptée du conducteur dans le champ (mètre) et
conducteur (mètres par seconde). Si maintenant ce conducteur est fermé sur lui-même, un
courant va circuler au sein de celui-ci suite à la présence de la tension induite. Plus la
tension induite est grande, plus le courant induit l’est également.
b) Loi de Lorentz
La
convenablement dans un champ magnétique est soumis à une

2Force électromagnétique agissant sur un conducteur placé dans un champ
magnétique et parcouru par un courant
La force
par un courant
vectoriel) :

La force agit donc dans une direction qui est à la fois perpendiculaire à la direction du
courant et à celle des lignes de flux. Elle tend à placer le conducteur (si celui-ci est
mobile) dans la position du flux maximum. Cette force est d’autant plus importante que

le courant
conducteur parcouru par le courant
I et le champ B sont élevés et que l’angle entre le champ B et l’axe duI se rapproche de 90 degrés.df agissant sur un élément dl de conducteur situé dans un champ B et parcouruI est donnée par la relation suivante (le symbole x représente ici le produitIloi de Lorentz stipule qu’un conducteur parcouru par un courant et orientéforce électromagnétique.E est la tension induite en volts, B est la densité de flux (teslas), l est la longueurv est la vitesse de déplacement du=Bl vE est la norme de la tension induite en volts et dφ est le flux coupé en webers pendantdt en secondes.loi d’induction de Faraday stipule que le déplacement d’un conducteur dans un champ

ENGRENAGES

Le principe des pièces solides qui s'engrènent et qui poussent l'une sur l'autre en assurant la

continuité du mouvement existe et est utilisé depuis des temps immémoriaux ; les romains, les grecs

et avant eux, les égyptiens et les chinois l'ont utilisé. Mais l'étude systématique et l'usage intensif

des engrenages avec le profil de denture cycloïde datent des débuts de l'horlogerie au XII

La théorie des engrenages avec le profil développante de cercle est connue depuis le XVII

appliquée depuis le milieu du XIX

utilisé : il offre une transmission positive et efficace tout en étant économique à la fabrication et à

l'application.
FAMILLE DES ENGRENAGES

Les applications industrielles les plus courantes pour les engrenages sont la transmission de
puissance entre des arbres parallèles, les arbres A et C de la figure 12.1, des arbres à 90
concourants dans un plan, les arbres C et B et des arbres à 90
les arbres A et B.
Les arbres parallèles sont raccordés par des engrenages cylindriques externes ou internes,
c'est-à-dire que les dents sont disposées sur l'extérieur, figures 12.2(a) et (b), ou l'intérieur d'un
cylindre, 12.2(c). Lorsque le flanc des dents est disposé parallèle à l'axe x autour duquel le cylindre
tourne, on a un engrenage cylindrique droit, figure 12.2(a). La figure 12.2(b) montre un engrenage
cylindrique mais dont les dents sont disposées sur le cylindre de telle sorte que leur flanc fait un
certain angle avec l'axe x du cylindre; ainsi, la dent s'enroule selon une portion d'hélice autour du
cylindre, d'où l'appellation d'engrenage cylindrique hélicoïdal. Les engrenages cylindriques internes
sont aussi fabriqués avec une denture hélicoïdale.
Les arbres perpendiculaires et concourants dans un plan, les arbres B et C de la figure 12.1
sont réunis par des engrenages coniques, figures 12.3(a). Ces engrenages sont dits coniques parce
que leurs dents sont disposées sur un tronc de cône dont le sommet est au point de rencontre des
axes des arbres, figure 12.3(b). Dans les engrenages coniques droits, figure 12.3(a) et (c), les dents
sont disposées sur le cône de telle sorte que leurs flancs convergent tous vers le sommet du cône.
Les engrenages coniques peuvent être fabriqués avec des dents droites mais qui ne convergent pas
vers le sommet du cône : les dents alors s'enroulent en une spirale sur le cône, figure 12.3(d); on les
appelle engrenages coniques gauche. Si les dents sont courbées, figure 12.3(e), elles deviennent ce
que l'on appelle des engrenages coniques spiroïdes. Les engrenages coniques droits et spiroïdes ont
la même signification que les engrenages droits et hélicoïdaux chez les engrenages cylindriques.
La variété de formes de dents pour les engrenages coniques est cependant beaucoup plus
vaste que celle rencontrée chez les engrenages cylindriques; la seule limitation est en fait la
possibilité de fabrication. Cette flexibilité permet d'ajuster à volonté les réactions sur les paliers, le
glissement et la distribution des forces sur les dents. En contrepartie, chaque paire d'engrenages est
unique, c'est-à-dire que chacun des engrenages de la paire ne peut fonctionner qu'avec son
partenaire. Pour le remplacement des pièces dans un contexte industriel, ceci rend l'usager tributaire
du manufacturier qui est le seul à connaître les paramètres de fabrication de la paire d'engrenages.

Pour raccorder des arbres à 90
souvent une vis et un engrenage de vis, figure 12.4. La vis ressemble à un engrenage cylindrique
hélicoïdal dont la dent fait avec l'axe de rotation du cylindre un angle près de 90
devient un filet; c'est pourquoi on l'appelle une vis. L'engrenage de vis de son côté ressemble plus à
un engrenage hélicoïdal en ce sens que ses dents sont disposées sur le cylindre avec un angle
beaucoup plus modeste. Mais là s'arrête la similitude : le flanc de la dent de l'engrenage de vis est
concave dans la direction axiale et le dessus de la dent a aussi une forme concave cylindrique pour
accommoder la vis.
Plusieurs autres types d'engrenages avec d'autres dentures existent : on peut nommer les
engrenages à chevrons, les engrenages coniques Zerol
Spiroïd
engrenages de vis à simple et double enveloppement ni les profils de denture arc de cercle. Une
bonne description et une bonne étude sont faites de ces types peu courants d'engrenages dans le
Gear Handbook de Darle W. Dudley [12.2].
La figure 12.5 illustre les définitions de saillie, de creux, de cercle de tête, de cercle primitif,
de cercle de pied et de cercle de base avec leur rayon respectif de même que celles du pas circulaire
primitif et du pas circulaire de base.
Les engrenages fonctionnement toujours en paire. La figure 12.6(a) montre
schématiquement les notions fondamentales d'une paire d'engrenages cylindriques droits dans le
plan transversal, c'est-à-dire dans un plan normal à l'axe des arbres réunis par la paire d'engrenages.
On y remarque deux centres, O
menant, et de l'engrenage, celui mené. On remarque aussi les deux cercles de base de rayon
1 et O2, qui sont les centres de rotation du pignon, l'engrenageRb1 et
R
b2. Sur l'engrenage menant, ω
1
sens de rotation est inversé : alors
et T1 sont dans le même sens. Dans un système d'engrenages, leω2 est en sens inverse de ω
1
et T2 est dans le sens inverse de ω
2
Dans le plan transversal, la ligne de contact théorique des flancs d'une dent menante et d'une
dent menée ayant toutes les deux un profil développante de cercle apparaît selon un point; cela est
montré à la figure 12.6(a) comme le point
de tous les points de contact théoriques dans le plan transversal est appelé la ligne d'action. Dans leRb1 et Rb2 et les points de tangence sont montrés comme les points E1 et E2 dans
W
force normale
est pour indiquer que la force est normale au flanc de la dent.
Le point de rencontre de la ligne d'action avec la ligne des centres O
point primitif
on peut démontrer que les angles
l'angle de pression
d'action, figure 12.6(b) ou la ligne primitive et la ligne d'action, figure 12.6(a).n2 dirigée comme montré pour le sens de T1 montré. La réaction de la dent 2 sur la dent 1 est laWn1 avec Wn1 = Wn2 pour que la paire de dents soit en équilibre statique. L'indice n1 O2 est par définition leP; le point P définit les cercles primitifs de rayons R1 et R2. Par triangles semblables,E1 O1 P et E2 O2 P sont égaux; cet angle, par définition, est appeléϕ. L'angle de pression ν se retrouve aussi entre le plan primitif et le plan

plan transversal, la ligne d'action est un plan vu par la tranche, figure 12.6(b). Selon les propriétés
du profil développante de cercle, voir la référence [12.3], le plan d'action doit être tangent aux deux
cylindres de base, figure 12.6(b). Dans le plan transversal, les cylindres de base sont vus comme
des cercles de rayon
la figure 12.6(a).
Selon toujours les propriétés du profil développante de cercle, la ligne d'action est la
normale commune aux flancs des dents en contact; c'est donc dire que, pour les deux dents montrées
en contact au point e dans la figure 12.6(a), l'action de la dent 1 sur la dent 2 est la force normale
.e pour une phase quelconque de l'engrènement et le lieu
ENGRENAGES CYLINDRIQUES DROITS

Les engrenages cylindriques droits industriels sont fabriqués avec une denture ayant un
profil développante de cercle. Les propriétés de cette courbe de même que le fonctionnement et le
calcul de ces engrenages sont étudiés assez en détail à la référence [12.3], Éléments de machines par
Drouin et al. Cette section se limite à ajouter deux notions à celles qui sont vues à la référence
[16.3] : soit celle de la vitesse de glissement et du rendement. Cette section sert également de rappel
de la nomenclature et de la géométrie de base des engrenages avec une denture à profil
développante de cercle.

Géométrie et nomenclature
o mais qui ne se rencontrent pas dans un plan, on utilise le pluso, de sorte qu'elle􀀀, Beveloïd􀀀, Hypoïd􀀀, Plenoïd􀀀,􀀀, Helicon􀀀, les engrenages hélicoïdaux gauches, les engrenages couronne sans oublier leso eto mais non concourants dans un plan,e siècle.e siècle ete siècle. Aujourd'hui, ce profil de denture est universellement

DIFFÉRENTIELS

Les boîtes d'engrenages telles que nous les rencontrons le plus souvent sont

des boîtes avec deux entrées/sorties, c'est-à-dire que dans ces boîtes, la puissance

circule selon un cheminement unique dans le train d'engrenages, de l'entrée vers la

sortie. La figure 17.1 illustre ce cheminement simple dans une boîte d'engrenages à

deux entrées/sorties. La boîte d'engrenages de la figure 17.1 contient une combinaison

d'engrenages coniques et cylindriques. La même remarque est vraie pour les boîtes

montrées aux figures 17.4 et 17.6 au chapitre 17 qui, elles, contiennent seulement des

engrenages cylindriques ou de vis.

Une caractéristique des boîtes d'engrenages à deux entrées/sorties est qu'elles

ont un ratio

valeurs de

deviennent vite lourdes et encombrantes.

L'arrangement d'engrenages en un train planétaire dans un plan, figure 17.2, ou

dans l'espace permet de réaliser une boîte d'engrenages à trois entrées/sorties, que

l'on appelle différentiels. De tels arrangements permettent d'obtenir des ratios

i fixe ou des ratios multiples mais à des valeurs définies. Pour les grandesi, les boîtes d'engrenages conventionnelles à deux entrées/sortiesi
infinitésiment variables dans une certaine plage ou des ratios très grands dans un
espace et avec un poids minimum.
Ce chapitre étudie la cinématique des différentiels, le cheminement de la
puissance dans ces trains d'engrenages et comment ils peuvent être utilisés pour varier
la vitesse ou pour obtenir de grands ratios de démultiplication.
DESCRIPTION DES DIFFÉRENTIELS

La figure 17.2 illustre un train d'engrenages planétaire réalisé avec des
engrenages cylindriques. L'anneau, qui est un engrenage interne, et la planète
centrale, que l'on appellera planète, ont leurs axes coaxiaux. Les satellites qui sont en
contact simultanément avec l'anneau et la planète ont leurs axes montés sur un porte
satellite, que l'on appelle châssis, qui est libre de tourner autour du même axe que
l'anneau et la planète.
En général, dans un train planétaire, il n'y a pas moins que trois satellites, mais il
peut y en avoir plus. L'arbre du châssis est creux et contient un palier pour recevoir
l'arbre de la planète. Souvent, l'arbre de la planète se prolonge à l'arrière pour être
supporté par un autre palier dans le corps de l'anneau, figure 17.2(b).
L'engrenage interne de l'anneau est en porte-à-faux à l'extérieur de ses paliers.
Comme les satellites ne transmettent aucun couple, leur axe est soudé au châssis et ils
sont libres de tourner de leur axe respectif grâce à un palier.
L'arbre de l'anneau, celui de la planète et celui du châssis sont les trois
entrées/sorties du train différentiel. Si on immobilise un de ces trois axes, on retrouve
un train d'engrenages planétaire conventionnel à deux entrées/sorties.

La figure 17.2(c) illustre comment il est convenu, dans ce qui suit, de représenter
les composantes d'un différentiel.
Pour alléger la présentation, on ne dessine, quand cela est possible, qu'une
moitié du train, figure 17.2(b). Pour plus de facilité, on représente les engrenages par
un trait terminé par une barre perpendiculaire pour les dents. Le point d'engrènement
des dents est représenté par deux traits parallèles placés face à face, figure 17.2(c).
Pour clarifier la présentation, on montre parfois les paliers par deux traits parallèles de
chaque côté de l'arbre. Lorsque l'engrenage tourne avec l'arbre, on le montre comme
soudé sur son arbre. Les axes de l'anneau et de la planète sont concentriques alors
que seulement une moitié de l'arbre creux du châssis n'est montrée.
Les symboles
nombre de dents,
N·m; l'indice
satellites et l'indice
agissent dans le sens antihoraire (A.H.) lorsqu'on regarde le train de la droite et négatifs
s'ils sont dans le sens horaire (H.).
Il faut rappeler que sur un arbre qui est une entrée,
sens, c'est-à-dire qu'ils sont tous les deux positifs ou négatifs. Sur un arbre qui est une
sortie,
d'engrenages à trois entrées/sorties, il n'est pas facile d'assigner un indice prédéfini aux
variables. Nous allons utiliser les indices 1, 2 et 3 pour les terminaux en essayant,
autant que possible, d'assigner l'indice 1 à une entrée; les indices 2 et 3 pourront être
une entrée ou une sortie.

ÉQUATIONS DE CALCUL

Les différentiels constituent un système à neuf variables inconnues de vitesse,
de couple et de puissance, dont six sont indépendantes. Pour solutionner ce système,
nous disposons de trois équations, soit les équations de cinématique, l'équation de
couple et l'équation de la puissance. Pour définir le système mathématiquement, il
faudra donc définir trois variables au départ.
Équations de cinématique

Un différentiel s'étudie, du point de vue cinématique, exactement comme un train
planétaire. Donc, si nous appliquons l'équation de Willis [17.1] au train de la figure
17.2, nous pouvons écrire :
où l'anneau
En régime permanent et en négligeant les pertes par frottement, le diagramme
du corps libre des constituantes du train, en supposant que la planète est une entrée et
que le couple sur la planète est positif, est comme montré à la figure 17.3; pour
conserver l'équilibre statique, il faut que
est supposée une entrée, il faut que
que
Avec la planète
peuvent alors se présenter :
1- L'anneau et le châssis sont des sorties. Dans ce cas,
être dans le sens contraire à
représenté à la figure 17.3.
2- L'anneau est une sortie et le châssis est une entrée. Pour que le châssis
soit une entrée, il faut que
que
3- L'anneau est une entrée et le châssis est une sortie. Dans ce cas,
être positif pour être dans le même sens que
est montré à la figure 17.5.
On peut reprendre le même exercice en supposant successivement l'anneau et
le châssis comme étant une entrée. Nous allons obtenir ainsi les six cas différents
montrés au tableau 17.1 et aux figures 17.3 à 17.8

Exemple 17.1

Soit un différentiel à une entrée deux sorties du type de celui de la figure 17.6 :
l'entrée est sur l'anneau et les sorties sont la planète et le châssis. Selon le
tableau 17.1, si
Pour
Na est positif, il faut que Nc soit aussi positif et Np soit négatif.Za = 90 dents, Zp = 50 dents et Na = 100 tpm, à partir de quelle valeur de Nc
ce différentiel cesse-t-il d'appartenir au cas 2 du tableau 17.1 lorsque
constant et que Na resteNc reste positif?Solution
On peut réarranger l'équation (17.2) pour obtenir :

Pour les conditions posées, ce différentiel cesse d'appartenir au cas 2 du tableau
17.1 lorsque
Chap. 17 - Différentiels Partie D

Équations de la puissance
Si on néglige les pertes par frottement dans les engrènements, on peut écrire :
T_p~N_p~+~T_c~N_c~+~T_a~N_a~=~0

On définit la puissance à une entrée comme étant positive; il faut alors que la
puissance sur une sortie ait un signe négatif pour satisfaire la relation (17.3).
Équations de couple
Des figures 17.3 à 17.8, on déduit :
T_p~+~T_c~+~T_a~=~0

Il faut noter que dans un train d'engrenages différentiel,
même sens et opposés à
train.
Exemple

Soit un train planétaire dans lequel
Zp = Zs = 40 dents. Le châssis c est entraîné àN
machine qui consomme 90 kW alors que l'anneau
demande 10 kW de puissance.
a) Quel est le nombre de dents dans l'anneau
b) Calculez
c) Quelles sont les vitesses de la planète et de l'anneau avec leur sens?
Solution
Chap. 17 - Différentiels Partie D
Clairement, de la figure 17.2, on voit qu'il faut que :
R_a~=~R_p~+~2R_s

où
Puisque l'anneau, les satellites et la planète sont en contact, ils doivent avoir le
même module et le même angle de pression. De la relation
après simplifications :
Z_a~=~Z_p~+~2Z_s~=~40~+~2~x~40~=~120~dents
b) Le couple d'entrée sur le châssis vaut :
_c~=~{100~x~9550} over {900}~=~+~1,061~x~10^3~N·m
Ra, Rp et Rs sont les rayons primitifs de l'anneau de la planète et des satellites.m = 2R/Z, on obtient,c = 900 tpm par un moteur de 100 kW. L'arbre de la planète p entraîne unea est relié à un mécanisme quia?Wt si les engrenages ont un module de 2,5 mm.Tp et Ta sont dans leTc; ceci est nécessaire pour respecter l'équilibre statique duNp ∃ 0, c'est-à-dire lorsque :a, la planète p et le châssis c peuvent être une entrée ou une sortie.Tc soit négatif et Ta positif. Puisque la planèteNp soit aussi positif pour être dans le même sensTp.p comme entrée, en supposant Tp et Np positifs, trois casNc doit être positif pourTc et Na doit être négatif. C'est le casNc soit négatif pour être aussi dans le même sensTc. Na doit aussi être négatif; ce cas est montré à la figure 17.4.Na doitTa et Nc doit être positif. CeciΤ et N sont une vitesse angulaire en rad/s et en tpm, Z est unT est un couple extérieur appliqué sur une entrée ou une sortie ena est pour l'anneau, l'indice p est pour la planète, l’indice S est pour lesc est pour le châssis. Par convention, T, Τ et N sont positifs s'ilsT et N sont dans le mêmeT et N sont de signe contraire. Parce que nous sommes en présence d'un train

DYNAMIQUE DES EMBRAYAGES À FROTTEMENT

Les embrayages à frottement sont couverts en détail à la référence [11.6]. Cette section étudie la

dynamique de l’engagement des embrayages à frottement et leur bilan thermique.
Définitions et calculs

Les freins servent à arrêter ou décélérer une masse en mouvement. L’énergie cinétique de la
masse est dissipée en chaleur par le glissement qui existe entre les deux parties du frein, une
étant attachée à la masse, l’autre étant fixe (figure 11.7a). Les freins dissipent toute l’énergie
cinétique des masses initialement en mouvement sous forme de chaleur.

Figure 11.8 - Représentation schématique d’un frein et d’un embrayage

Les embrayages, contrairement aux freins, servent à accélérer des masses. La figure 11.8b
montre un embrayage à plateaux : le plateau 1 est fixé au moteur et le plateau 2 à la masse à
accélérer. Avant que les plateaux se touchent, ils ont tous les deux une vitesse différente. Au
moment où les plateaux se touchent, une force de frottement est engendrée : c’est la période
d’engagement avec glissement. Cette force sert à diminuer la différence de vitesse jusqu’à ce
qu’éventuellement les deux plateaux aient la même vitesse. Alors le glissement cesse et la
période de l’engagement sans glissement commence. C’est durant la période de l’engagement
avec glissement que l’énergie est perdue. Il faut évaluer cette quantité d’énergie pour établir le
bilan thermique de l’embrayage.
Si la quantité de chaleur qu’un frein doit dissiper est relativement facile à calculer [11.6], la
procédure de calcul dans le cas d’un embrayage est un peu plus complexe.
Définitions (voir figures 11.7 et 11.8) :T1 est le couple moteur sur l’embrayage.
􀅀
suspendues et de leur inertie.
T2 est le couple résistant sur l’embrayage; T2 est constitué de frottement, de masses
􀅀
maximale de l’embrayage,
maximum qui peut éventuellement exister dans la transmission. Dans la présente analyse,
Tf est le couple de frottement instantané de l’embrayage. Tf est un pourcentage de la capacitéTf max, qui est calculée pour égaler ou surpasser le coupleTfest limité à :

T
I
1 est l’inertie des masses du côté moteur.􀅀
t

i est le temps auquel les deux moitiés de l’embrayage se touchent pour la première fois. ÀI2 est l’inertie des masses du côté entraîné.f max est calculé pour dépasser Tmax dans la chaîne cinématique

􀅀

Formules générales d’une garniture à usure constante et angle inclus constant

Position du centre de poussée
Pour actionner le frein, il faut presser la garniture contre le disque avec une force extérieure F
normale au plan de la garniture. Pour que la garniture reste en équilibre, le point d’application
de la force F doit être situé à une position particulière appelée le centre de poussée.
Considérons en premier lieu un arc élémentaire de garniture d’épaisseur dr et d’angle inclus γ
comme à la figure 11.5. Puisque le produit pr = constant, la pression est la même tout le long de
l’arc et le centre de poussée sur cet arc est confondu avec son centre de gravité G, d'où :

Figure 11.5 - Définition du centre de poussée pour un segment de garniture
Considérons maintenant l’ensemble d'une garniture de forme quelconque (figure 11.5). Dans ce
cas, la somme des moments des forces élémentaires de poussée dF par rapport au point O doit
être égale au moment de la résultante générale de poussée F par rapport au même point. Si on
appelle a (figure 11.6) la distance radiale du point d’application de la résultante F, on peut
écrire :

D/2 et d/2 sont les rayons externes et internes de la garniture respectivement (figure 11.5) et a
est la distance radiale entre le centre
O du disque et le point d’application de la force extérieure
F
. Si on solutionne cette expression pour a, en se rappelant que l’angle inclus γ et le produit prsont constants, on trouve :

Figure 11.6 - Emplacement du centre de poussée pour une garniture complète
Résultante de frottement et centre de frottement

Sur l’arc élémentaire AB d’épaisseur
dr de la figure 11.7, considérons un élément de surface
dA
= r dα dr. Chacun de ces éléments dA est soumis à une force de frottement élémentaire f dF′qui peut s'exprimer ainsi :
dF = p f (r d ) dr

Figure 11.7 - Emplacement du centre de frottement
Appelons

Pour toute la longueur de l’arc et sur toute la surface, la résultante

en notant que
(figure 11.8) qui devient le centre de frottement de l’arc. La longueur
que la somme des moments des forces élémentaires
la force

Après intégration, on obtient :

Distribution de pression

En se rappelant que le produit
donc

On note que dans un tel frein, la pression maximale
calcul, on constate que le centre de poussée, le centre de frottement et le centre de gravité sont
voisins les uns des autres.
Calcul

La procédure de calcul d’un frein à disque pincé suit la démarche ci-dessous :
1- Calculer
2- Calculer la force totale de frottement
3- Localiser le centre de frottement
4- Le couple de freinage par garniture vaut
qui travaillent en paire, le couple de freinage
F pour pa dans l’équation (11.19).Ff avec l’équation (11.16).OC à l’aide de l’équation (11.18).Ff􀀃OC, mais comme il y a toujours deux garnituresT vaut :
T = 2 F
5- Finalement, on peut calculer le centre de poussée
pistons de poussée.f OC (11.20)a avec l’équation (11.13) pour localiser lespa se produit au rayon minimal, soit d/2. Parpr est constant, la force totale F agissant sur toute la garniture estf p r 􀁊 dr = F. La résultante Ff coupe l’axe de symétrie de l’arc AB au point COC se calcule en écrivantd'Ff par rapport à O est égale au moment deFf par rapport au même point, soit :Ff se calcule pardFf la composante suivant l’axe Ox de la force dFf􀁣 ; on a

où